Тридцать лет назад, в январе 1978 года, в Принстоне, умер один из удивительнейших людей прошлого столетия: Курт Гёдель…
Когда речь заходит о высочайших взлетах человеческой мысли в двадцатом веке, первым делом обыкновенно вспоминают теорию относительности Эйнштейна, реже – квантовую механику и принцип неопределенности Гейзенберга. Но вот сейчас в этом ряду поразительнейших открытий все чаще называют и теорему Гёделя. Несколько книг о ней стали на Западе бестселлерами, хотя они и полны математических выкладок. Это тем более любопытно, что доказательство теоремы необычайно сложно, – настолько, что его не сразу поняли такие знаменитые мыслители и логики, как Бертран Рассел и Людвиг Виттгенштейн. Зато когда другой знаменитый математик – Янош (он же Джон) фон Нейман – постиг ход мысли Гёделя, он был настолько потрясен, что объявил Гёделя величайшим логиком со времен Аристотеля.
Австрийский математик и логик Курт Гёдель родился 28 апреля 1906 года в Австро-Венгрии в моравском городе Брно (в ту пору именовавшемся Брюнн). В возрасте восемнадцати лет Гёдель начал изучать физику в Венском университете, но под влиянием книги Бертрана Рассела «Введение в философию математики» через два года переключился на математику.
В 1930 году в двадцать четыре года он окончил Венский университет, где остался преподавать на кафедре математики. Ему дали докторскую степень за теорему, входящую сейчас в любой курс логики и получившую впоследствии его имя.
Это теорема о полноте предикативной логики, гласящая, что всякая логика полна, если все истинные высказывания, сформулированные на ее языке, могут быть доказаны в силу ее постулатов. Но полна ли в этом смысле вся математика как таковая?
В первой половине прошлого века этот вопрос был в числе самых актуальных в науке. В 1900 году в Париже прошла Всемирная конференция математиков, на которой Давид Гильберт изложил в виде тезисов сформулированные им 23 наиважнейшие, по его мнению, задачи, которые предстояло решить ученым-теоретикам наступающего ХХ века. Под вторым номером в его списке значилась одна из тех простых задач, ответ на которые кажется очевидным, пока не копнешь немножечко глубже. Говоря современным языком, это был вопрос: самодостаточна ли математика? Вторая задача Гильберта сводилась к необходимости строго доказать, что система аксиом – базовых утверждений, принимаемых в математике за основу без доказательств, – совершенна и полна, то есть позволяет математически описать все сущее. Надо было доказать, что можно задать такую систему аксиом, что они будут, во-первых, взаимно непротиворечивы, а во-вторых, из них можно вывести заключение относительно истинности или ложности любого утверждения.
Возьмем пример из школьной геометрии. В стандартной Евклидовой планиметрии (геометрии на плоскости) можно безоговорочно доказать, что утверждение «сумма углов треугольника равна 180°» истинно, а утверждение «сумма углов треугольника равна 137°» ложно. Если говорить по существу, то в Евклидовой геометрии любое утверждение либо ложно, либо истинно, и третьего не дано. И в начале ХХ века математики наивно полагали, что такая же ситуация должна наблюдаться в любой логически непротиворечивой системе.
Гёдель задался целью ответить на волновавший умы математиков вопрос. Здесь ученого и ожидал феноменальный результат, навсегда прославивший его имя. Ответ был получен отрицательный: в логическом отношении математика оказалась неполна.
Теорему о неполноте Гёдель доказал, когда ему было двадцать пять лет. Его статья «О принципиально неразрешимых положениях оснований математики и связанных систем» появилась в 1931 году и вскоре была признана величайшим достижением математической логики. Казалось бы, теорема эта носит вполне отвлеченный характер. Сам Людвиг Виттгенштейн, поняв ход ее доказательства, настаивал, что она не имеет никакого философского значения и ничего не говорит о природе человеческого разума. Однако сегодня ученые думают иначе.
Из теоремы выводят три основных положения, которые мы перечислим в порядке возрастания их общности: во-первых, в любой последовательной системе постулатов арифметических действий возможны формулы, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть; во-вторых, истина и доказуемость – не одно и то же; в-третьих, никакой компьютер не в состоянии воспроизвести человеческий разум.
Последние два суждения – не прямые, косвенные следствия, и они до сих пор вызывают жаркие споры.
Например, английский математик и физик Роджер Пенроуз (Roger Penrose) показал, что теоремы Гёделя можно использовать для доказательства наличия принципиальных различий между человеческим мозгом и компьютером. Смысл его рассуждения прост. Компьютер действует строго логически и не способен определить, истинно или ложно утверждение А, если оно выходит за рамки аксиоматики, а такие утверждения, согласно теореме Гёделя, неизбежно имеются. Человек же, столкнувшись с таким логически недоказуемым и неопровержимым утверждением А, всегда способен определить его истинность или ложность – исходя из повседневного опыта. По крайней мере, в этом человеческий мозг превосходит компьютер, скованный чистыми логическими схемами. Человеческий мозг способен понять всю глубину истины, заключенной в теоремах Гёделя, а компьютерный – никогда. Следовательно, человеческий мозг представляет собой что угодно, но не просто компьютер.
Будучи человеком сугубо аполитичным, Гёдель крайне тяжело пережил убийство своего друга и сотрудника по кафедре студентом-нацистом и впал в глубокую депрессию, рецидивы которой преследовали его до конца жизни. В 1930-е годы он эмигрировал было в США, но вернулся в родную Австрию и женился. В 1940 году, в разгар войны, вынужденно бежал в Америку транзитом через СССР и Японию. С 1953 года являлся профессором Института перспективных исследований в Принстоне, стал членом Национальной Академии Наук США и Американского философского общества. В 1951 году Гёдель был удостоен высшей награды США для ученых – Эйнштейновской премии.
Оказавшись в Принстоне, Гёдель предложил оригинальное решение выведенных Эйнштейном уравнений общей теории поля. Из этого решения, между прочим, следует принципиальная возможность машины времени. Вообще же с математики он переключился на философию, увлекся трудами Лейбница – и пришел к выводу, что тот открыл – ни много ни мало – Тайну Жизни. Впрочем, по мнению Гёделя, до нас это открытие не дошло, ибо современные Лейбницу мракобесы подвергли его сочинения жесточайшей цензуре.
Среди принстонских ученых и сейчас немало тех, кто знал Гёделя, но никто из них не возьмется ответить на простейшие вопросы о его вкусах, привычках, частной жизни, – вообще, о каких бы то ни было личностных проявлениях. В рассказах коллег он предстает существом бесплотным и болезненно уязвимым – своего рода духом, сотканным из логических построений.
Впрочем, Гёдель был женат, в связи с чем сохранился следующий анекдот. Один принстонский философ, позвонив как-то Гёделю домой, попал на его жену. Когда он услышал, как госпожа Гёдель крикнула мужу: «Курци, это тебя!», он буквально потерял дар речи. Для него, сознававшего масштаб Гёделя, это было то же, как если бы кто-то, обращаясь к Эммануилу Канту, назвал его Моней.
Принстонцы, не принадлежащие миру науки, тоже помнят Гёделя, но лишь с одной стороны: даже в самые жаркие летние дни он всегда появлялся в университетском парке в теплом пальто и шерстяном шарфе, плотно облегавшем горло. Наиболее впечатлительные добавляют еще, что вся фигура ученого выражала полную отрешенность от внешнего мира.
Впрочем, имеется и еще один анекдот о Гёделе. В 1948 году ему предстояло выдержать нечто вроде устного экзамена на получение американского гражданства. Он досконально изучил Конституцию США, которую, как известно, признают величайшим творением политической мысли, – и пришел к выводу, что в этой стране законным путем может быть установлена диктатура. Одним из двух поручителей Гёделя при получении американского подданства был Альберт Эйнштейн. Гёдель поделился с ним своим выводом. В ответ Эйнштейн настоятельно рекомендовал ему не упоминать об этом во время экзамена и церемонии посвящения. Гёдель обещал вести себя примерно, но не сдержал слова.
Когда чиновник, обращаясь к нему, сказал:
– До сего дня вы были подданным Германии…
Ученый поправил его:
– Не Германии, а Австрии.
– Неважно, – продолжал тот. – В любом случае вы жили под гнетом чудовищной диктатуры, которая, к счастью, невозможна в нашей стране.
– Как раз наоборот, – воскликнул Гёдель, вскакивая с места. – Я берусь доказать, что диктатура здесь возможна…
Друзьям стоило немалого труда уговорить его воздержаться от этого не совсем уместного доказательства хотя бы до принесения присяги.
Эту историю в Принстоне знает каждый – и ею же исчерпывается всё, что здесь знают о Гёделе.
В последние двадцать лет жизни Гёдель не опубликовал ни одной работы. Умер он в возрасте 71 года при явных признаках психического расстройства. Уверившись, что врачи пытаются его отравить, он отказался принимать пищу. Голодное истощение, наряду с распадом личности, фигурирует в медицинском свидетельстве о его смерти.
По материалам энциклопедий
и статьи Юрия Колкера
www.vestnik.com
